Um hotel com vagas infinitas pode estar lotado, aqui está o motivo

Imagine que você está de férias e sua reserva de hotel é cancelada. Que chatice, vai ser preciso encontrar outro lugar para ficar, certo? Você começa a pesquisar no Google por acomodações quando se depara com este anúncio, que menciona um hotel que aparentemente tem um número infinito de quartos. Certamente haverá um disponível, claro. Você chega ao estabelecimento e é recebido no balcão de check-in pelo gerente. E este recepcionista em particular parece especial. Você logo descobrirá o motivo. Ele começa dizendo que todos os quartos estão reservados. O número infinito é preenchido por um número infinito de convidados. Mas espere, o gerente pode ter uma solução para ainda fazer o check-in. Eu disse que ele era especial!

O cara começa a explicar que todos os cômodos são numerados a partir do número 1. Depois vêm o 2, o 3, e assim vai avançando infinitamente. Neste local só é permitida uma pessoa por quarto. Então, se houver uma em cada um, como o recepcionista vai arrumar espaço para você? Simples: ele pede a cada um dos hóspedes que vá para o quarto seguinte. Desta forma, a pessoa que fica no número 1 passa para o 2, a pessoa que está no 3 vai para o 4 e assim por diante. Uma vez que cada um desses números infinitos de hóspedes vai para o próximo, o primeiro fica disponível. Enquanto você espera na recepção, aparece um ônibus com gente querendo fazer o check-in também. São 100 pessoas esperando do lado de fora no veículo. O rapaz aplica a mesma estratégia. E move todos os 100 quartos seguintes até que os primeiros 100 fiquem vazios e prontos para receber gente.

Espalha-se rapidamente a notícia de que existe um hotel que acomoda muitos hóspedes. Obviamente, mais ônibus como aquele começam a chegar. E não são apenas muitos. Um número infinito de veículos com uma quantidade infinita de passageiros se enfileira na entrada do estabelecimento. Nosso recepcionista é inteligente mais uma vez. Ele abre sua agenda infinita, com um número infinito de páginas, e começa a preparar uma tabela. Ela conta com uma quantidade infinita de colunas e linhas. Nessa tabela, há uma fileira para cada ônibus, com a de cima para todas as pessoas que já estão no hotel. O cara usa as colunas para mostrar a posição que cada uma ocupa. Há o quarto número 1, o número 2 e assim por diante. E ele passa a preencher a tabela com o Ônibus Um, Assento 1, depois o Ônibus 1, Assento 2. Seu objetivo é garantir que cada pessoa receba um código exclusivo, feito de uma combinação do veículo e do número do assento. Ele então passa a mostrar a todos como vai atribuir as habitações.

Começando com o canto superior esquerdo da tabela, desenha uma linha que ziguezagueia para a frente e para trás, passando por cada pessoa exatamente uma vez. Se pudesse puxar essa linha de cada extremidade, transformaria uma tabela infinita em uma única linha. Uma vez definida a ordem dessa linha, ele atribui o número de cada quarto ao hóspede designado. Todo mundo se encaixa mais uma vez. No momento em que nosso brilhante recepcionista está prestes a fazer uma pausa, um grande ônibus aparece na entrada do hotel. Não é um normal, mas um de festa, que não tem assentos. Mas, como você já pode imaginar, este também tem uma quantidade infinita de passageiros.

Quando eles descem, você ouve os nomes. E com certeza são estranhos! Logo um deles começa a explicar por que se chamam dessa maneira. Como são infinitos no ônibus, todos decidiram usar identificadores únicos apenas com as letras X e Z. Para manter o tema, os nomes também são infinitamente longos. Uma pessoa pode ser chamada de X, X, X, X, X, X, X, X, X, X com letras continuando indefinidamente, enquanto outra pode ser chamada de XZ, XZ, XZ, XZ, XZ, XZ também sendo capaz de continuar para sempre. Depois de pensar um pouco, você descobre que existe uma pessoa para cada sequência infinita possível dessas duas letras.

Mas assim que todo mundo começa a entrar, o recepcionista diz que não consegue encaixar todos no hotel. “Pode ser um pouco complicado explicar desta vez”, diz ele. “Mas vou tentar”. Então começa abrindo sua agenda infinita mais uma vez. E passa a atribuir quartos para as pessoas no ônibus. Digamos que o Número 1 seja para quem chama X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, enquanto o 2 é para o XZ, XZ, XZ, XZ, XZ, XZ . Para terminar, ele tecnicamente teria que continuar, alocando uma série diferente de Xs e Zs para cada um de seu número infinito de habitações.

“É aqui que fica complicado”, diz, “porque mesmo que completemos essa lista infinita de nomes, ainda posso nomear uma pessoa que não terá um quarto”. Tudo o que você precisa fazer para descobrir o azarado é pegar a primeira letra do primeiro nome e trocá-la, então X se torna Z. Aí pega a segunda letra do segundo nome e muda de Z para um X. Se continuar fazendo isso, o nome que anotou certamente não aparecerá na lista

Você pode ter se deparado com um hotel com um número infinito de quartos, mas isso não quer dizer que ele possa acomodar literalmente “todo mundo”. Porque essas habitações são infinitas, mas contavelmente infinistas. Mesmo que demorasse uma eternidade, você poderia tecnicamente numerar todos os quartos do hotel. A razão pela qual não consegue acomodar todos do ônibus da festa é que eles são incontavelmente ​​infinitos. Não há uma maneira sistemática de identificá-los. Quando você olha dessa maneira, pensa: alguns infinitos são maiores que outros? Essa teoria é chamada de Hotel Infinito de Hilbert e não é a única desse tipo. A da Amizade também é engraçada. Significa que a maioria das pessoas tem menos amigos do que os próprios amigos. Ou seja, se você tem três, é provável que eles tenham mais de três amigos cada. É como um quebra-cabeça — é difícil entender por que isso acontece, mas é verdade!

Isso foi notado pela primeira vez em 1991 por um sociólogo chamado Scott Feld. Ele fez essa descoberta incomum ao olhar para as redes sociais existentes. Para isso, calculou o número médio de amigos que uma pessoa tem e depois o comparou à quantidade média que esses respectivos amigos também tinham. A parte interessante aconteceu quando ele percebeu que o segundo número é sempre maior. O problema é que não há explicação lógica para esse fenômeno. Você pode se perguntar: por que isso é importante?

Porque afeta a forma como nos percebemos em relação aos outros. A maioria de nós considera nossos amigos mais felizes, ricos e populares do que realmente são. Mas é importante lembrar que quase todo mundo está na mesma situação. Depois, há as teorias de Zeno, que são quebra-cabeças sobre o movimento. Elas fazem perguntas o tipo: “Se você tiver que dar metade dos passos para chegar a algum lugar, e depois metade desses passos, e então metade deles... chegará lá?” A resposta é sim! Mesmo que pareça que nunca alcançara o fim, se continuar dando metade dos passos, eventualmente chegará ao destino.

Pode parecer estranho, mas todas essas teorias são na verdade paradoxos. Em matemática, são conclusões matemáticas tão absurdas que são difíceis de entender, embora todos os movimentos que você fez antes de chegar a esse desfecho estejam corretos. Na maioria dos cenários, o paradoxo é a contradição das próprias declarações. No do hotel infinito de David Hilbert, por exemplo, essas afirmações são de que o estabelecimento pode estar lotado e ter quartos disponíveis ao mesmo tempo.